Integral no sentido de Riemann - revisão

Introdução e motivação

A definição geométrica de integral

O cálculo da integral

Um programa para calcular aproximadamente a integral

• def f(x):
    return (x+3)*(x-5);
• def g(x):
    return pow(x,2); ## a função do segundo grau
• def riemann(f, inicio, fim, n):
    x, soma, deltax = inicio, 0, (fim-inicio)/float(n);
    while(x < fim):
      soma += f(x); ## incrementa soma com f(x)
      x += deltax;
    return(soma*deltax);

Comentando o programa:

1. A função principal (alguém poderia dizer que isto é falso, e com razão) é riemann() .
2. Ela recebe uma variável do tipo ``função'' que deve estar definida na mesma folha de trabalho em que está definida riemann() , e mais a sucessão de parâmetros inicio, fim, n, respectivamente, o inicio do intervalo, o fim do intervalo, e o número de divisões, uniforme, N do intervalo de integração.
3. tem as variáveis locais x, soma, deltax inicializadas com os valores inicio, zero, e (b-a)/N , respectivamente, em que a é o limite inicial do intervalo e b é o limite final do intervalo de integração.
4. tem um laço que deverá correr enquanto x for menor do que fim. A variável x assume os valores iniciais de cada sub-intervalo, começa recebendo a e termina recebendo b - delta x que é o ponto inicial do intervalo que corresponde ao último retângulo.
5. Ao findar o laço, riemann() devolve o produto soma*delta-x em que usamos a propriedade distributiva da multiplicação relativamente à soma. Neste caso usamos aquilo que é habitual ser chamado de ``colocar em evidência'', colocamos delta-x em evidência.

• python riemann.py
• Você vai ter como resultado:
• 0.3328335O

• tarcisio@computacao:~/multi: time python programas/riemann.py
• real 0m6.754s
• user 0m6.748s
• sys 0m0.004s
• 0.333333340632

A função logaritmo

tiver extremos com sinais iguais, ambos estritamente positivos ou ambos estritamente negativos, a função será contínua e terá integral. Esta função tem uma propriedade interessante que é fácil de demonstrar: quer dizer que podemos cancelar um dos limites de integração no caso particular da função f(t) = 1/t . Esta propriedade vale para qualquer função que seja múltipla desta função, e somente para elas. É uma propriedade privada desta classe de funções. Como consequência desta propriedade podemos facilmente calcular a integral

para qualquer potência do número positivo a. Observe o exemplo

em que usamos duas propriedades:

1. A propriedade geométrica das áreas que nos permite subdividir uma região em um determinado número de regiões contíguas sendo a área total a soma das áreas dos pedaços;
2. a propriedade fundamental da integral de 1/t .

Com algum trabalho podemos mostrar que

Implicitamente estamos fazendo uma definição:

A notação usual para o ``logaritmo natural" é ``ln'', entretanto em geral as linguagens de programação usam o símbolo ``log" para o logaritmo natural. Também podemos provar:

A demonstração usa, novamente, as duas propriedade listadas acima, da soma de áreas de regiões contíguas e a propriedade fundamental da integral de f(x) = 1/x. Tente fazer, você mesmo, a demonstração.
E como, usando a convenção inicial,

podemos dizer que F(x) = log(x) é a primitiva de f(x) = 1/x com a condição inicial 1. O nome é apropriado porque temos aqui uma função goza das propriedades do logaritmo sendo portanto um tipo de logaritmo porque você pode repetir tudo que fizemos acima com a função

e podemos finalmente associar K a uma das conhecidas bases de logaritmo. K=1 é apenas um tipo de logaritmo de forma muito natural chamado de logaritmo natural ... em particular K = 1/log(10) produz o chamado logaritmo decimal .
Os resultados que você obtiver com o programa acima, para o logaritmo natural, podem ser comparados com os valores que a linguagem de programação tem incorporado para a função log no algoritmo da linguagem.
Na lista de exercícios 02 há alguns exemplos em que você pode aplicar o programa, mas um uso inteligente do programa consiste em usá-lo para verificar os cálculos formais que você fizer, portanto,

• primeiro calcule as integrais usando as regras de integração;
• verique o seu resultado rodando o programa,
• havendo discrepância significativa, isto indica que você deve voltar a calcular a integral usando as regras de integração.

Não fazendo assim, você estará transformando o uso do programa, que é um auxílio didático que lhe oferecemos, num burro vídeo-game que em nada vai acrescentar aos seus conhecimentos.

A arte de calcular integrais

É uma arte difícil e povoada de incertezas representando com frequência um desafio considerável. Na verdade é o exemplo mais simples de uma área ativa de pesquisa em Matemática denominada equações diferenciais: encontrar uma primitiva de uma função significa resolver uma equação diferencial das mais simples
... Se não conseguirmos identificar o par de funções (f, F)

simplesmente não sabemos calcular a integral

usando o Teorema Fundamental do Cálculo que está expresso na equação acima. Há várias regras finas que precisamos conhecer e que se encontram incorporadas na memória dos diversos programas de Computação Algébrica, como maxima, axiom, entre outros.

Mudança de variável e regra da cadéia

Uma destas regras é consequência da regra da cadéia para o cálculo da derivada: f(g(x)) '= f ' (g(x)) g '(x) que no cálculo de integrais é usada sob o nome de ``mudança de variáveis'':

Derivada do produto e integração por partes

A regra do produto da derivação induz um método de integração chamado de integração por partes. Começando pela regra do produto para derivadas, temos

e aqui entra a ``arte na integração'', se pudermos identificar alguma integral como uma das integrais no segundo membro, poderemos reescrever a equação anterior como

e finalmente, se soubermos calcular

então podemos finalizar o cálculo da integral

Exemplos frequentes de uso deste método aparecem em integrais envolvendo produtos de polinômios e de funções trigonométricas, porque, sucessivas aplicações deste método terminam ``eliminando a parte polinomial'' com repetição de derivações fazendo que a última integral tenha apenas uma função trigonométrica que, se soubermos calcular sua primitiva, podemos usar a sequência para finalizar a primeira integral. Estas integrais de produtos de polinômios por funções trigonométricas são importantes nos chamados ``polinômios trigonométricos'' que aparecem dentro do assunto ``séries de Fourier'' e estas são parte significativa de diversas aplicações, entre elas a ``compressão de dados'', ``decodificação de informação'', antigamente a telefonia, que hoje usa uma versão atualizada dos polinômios trigonométricos , as wavelets , que novamente entram nas aplicações acima.
A segunda parte da lista 02 está voltada para estas aplicações.

Conclusão

Vale a pena relembrar as fórmulas de integração do Cálculo, e sobretudo deixar claro na memória onde elas se encontram para uma necessidade que você tiver de uso das mesmas. Outra conclusão é se você puder provar que a integral existe, um programa de computador simples como o que está neste texto pode lhe dar um valor bem aproximado para o valor da integral.

Algumas aplicações

Como a integral, se existir, pode ser aproximada arbitrariamente por soma de Riemann, podemos admitir que a integral generaliza as somas. No fundo isto é falso, esta foi apenas um ponto de partida para chegar ao conceito de integral, mas é possível conviver com esta ideia algum tempo. Faremos isto!
Pensando desta forma, podemos chegar a uma expressão para o produto escalar usando integral. Antes de escrever a definição deixe-me fazer algumas considerações para colocar os conceitos num contexto adequado.
Primeiro, que o produto escalar é uma operação entre vetores. Então vamos ver as funções como vetores, e vamos deixar-lhe o cuidado de verificar que todas as propriedade dos ``vetores'' se aplicam aos objetos do tipo função.
Segundo, ao definirmos o produto escalar no fixamos em um certo espaço, e esta é uma atitude natural quando definimos operações - elas são válidas dentro de um determinado espaço.
Dito isto, os espaços de funções que vão nos interessar é das funções contínuas definidas num intervalo da reta. Insistimos que você também verifique que este "conjunto" das funções reais contínuas definidas no intervalo tem as mesmas propriedades que o R², por exemplo.

Se você avançar mais em seus estudos de Matemática verá algumas surpresas interessantes neste contexto que ficarão omissas neste texto uma vez que eu não teria condições de justificá-las.
Mas, resumidamente, esta definição nos permite a falar de conceitos geométricos com os vetores do tipo função, por exemplo podemos falar do ângulo entre duas funções, ou quando duas funções são ortogonais e aqui você vai ver uma surpresa agradável - isto acontece quando as funções contém informações de conjuntos disjuntos, uma delas sendo nula no outro conjunto, e vice versa.
Mas nem sempre é tão simples o significado de ortogonalidade, por exemplo, vamos afirmar que sin, cos são ortogonais, que sinj e sink com j diferente de k, são ortogonais. As definições destas funções aparecem mais abaixo.
De imediato queremos introduzir uma aplicação que a lista 02 traz.

O espaço das ondas eletromagnéticas

Você já deve ter usado um telefone celular, certamente. Então é uma usuária de ondas eletromagnéticas e o seu aparelho usa um espectro bem definido de ondas eletromagnética para que você possa ser encontrada.
Um telefone celular é um instrumento bastante complexo e que tem a capacidade de digitalizar sua voz, transferir eletromagneticamente pacotes desta digitalização e fazer a operação inversa, quando você recebe uma comunicação. Não vamos entrar nos detalhes até mesmo porque não dominamos todos os passos desta operação, o que vamos fazer aqui é mostrar-lhe parte deste processo, a parte matemática do processo.
E como o meu objetivo para entrar nesta área logo agora é o de motivá-la para estudar Cálculo, deixe-me observar que um aprofundamento neste tópico pode lhe servir de TCC, um programa de mestrado, e representa uma área promissora de trabalho como técnico da ANATEL, por exemplo. Se você conseguir conjugar a parte matemática com a parte computacional você estará dominando uma área de conhecimentos estratégica...
O programa fourier.gnuplot contém toda a experiência que está esboçada nas duas últimas questões da lista. Como sin, cos são ondas básicas, em outras palavras, com elas podemos compor qualquer outra onda, então a expressão

tem um significado geométrico entre estes dois vetores.
Com uma pequena modificação no produto escalar definido acima, podemos provar que sin, cos são vetores unitários:

Este resultado vale para qualquer seja a onda básica com a frequência acelerada: sin(nx), cos(mx). Temos, assim, uma família não finita de vetores unitários, perpendiculares entre si:

Você tem aqui tudo de que fala a Álgebra Linear, apenas o espaço é de dimensão infinita, e é isto que permite que as privadas de telecomunicação} sonharem com um mercado infinito de telefones celulares, e até poderiam nos impingir bem mais se o fizessem acompanhando com os equipamento de transmissão que desonestamente elas não querem comprar e fazer os investimentos que a ANATEL estaria obrigada a fiscalizar o que também ela não faz.

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As duas últimas questões da lista 02 mostram as projeções de duas ondas calculadas nas direções dos vetores unitários sinj, cosj. Elas também mostram que a metodologia da arte de cálcular integrais é insuficiente para nos habilitar neste cálculo como mostra uma ``onda'' definida algébricamente como o são $W, \Omega$ na lista. Sem métodos computacionais nossas telecomunicações teriam que se arrastar como tartarugas. Obviamente, elas andam como preguiças devido à irresponsabilidade das privadas de telecomunicações que não fazem os investimentos a que estão obrigadas, devido à ANATEL que não exerce com seriedade a sua função de fiscal.

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