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Palavras chave: superfícies, curvas, integrais de superfícies.

eu mesmo

Campo vetorial

"Campo vetorial" é uma denominação que vem da Física e foi absorvida pela literatura em Matemática e quer dizer função cuja imagem fica num espaço de dimensão maior do que 1, a imagem é um vetor. Na lista 05 vamos trabalhar com curvas e superfícies quer dizer

funções cujo domínio é um segmento de reta, curvas, e a imagem de cada ponto do domínio, é um ponto do R² ou do R³, respectivamente uma curva plana ou uma curva do espaço chamado 3D.
ou funções cujo domínio é uma região do plano, superfícies, e a imagem de cada ponto do domínio, é um ponto do R² ou do R³. Quando a imagem estiver no R², em geral não se chama esta função de uma superfície, se prefere considerá-la uma "transformação do R²" porque a maioria das aplicações interessantes que temos para estas funções são as "mudanças de variáveis dentro das integrais".

Em qualquer dos casos acima podemos chamar as funções de "transformações" embora não seja esta a denominação comum, porque algumas vezes elas precisam ser vistas como "parametrizações" de algum objeto do espaço, uma curva ou uma superfície.
São estes tipos de "transformações" de que trata a lista 05, sempre com o objetivo de calcularmos uma integral.

A primeira questão

Na primeira questão aparece um campo vetorial designado por (P(x,y), Q(x,y)), uma função definida em uma região do plano e tomando valores também no plano, portanto caindo na classificação que dei acima "transformação do R²". Uma aplicação comum para tais funções seria elas representarem um campo de forças que atua em cada ponto do plano, por exemplo, a intensidade de uma força aplicada ao ponto (x,y) na direção de (P(x,y), Q(x,y)). Neste caso a integral que aparece na primeira questão pode ser interpreta como o trabalho desta força atuando ao longo do caminho indicado e o valor da integral a quantidade de trabalho realizado ao longo do percurso representado pela curva.
Como o universo não é "algébrico" na prática o que você poderá encontrar é a descrição do caminho percorrido por uma seleção de pontos obtidos por algum sensor junto com uma modelagem adequada para recuperar o caminho aproximado percorrido por um objeto. A curva obtida assim e mais as medidas da força nos pontos escolhidos para as medidas seriam uma soma que representaria uma aproximação da integral. Aqui estou trabalhando como se todos os dados pudessem ser modelados por expressões "algébricas" e tem sentido para que você adquira uma intuição dos resultados.
Também têm sentido os cálculos formais que em algum momento podem ser utilizados numa formulação teórica. Assim, embora o universo não seja "algébrico", nós fazemos simulações "formais" para o universo que terminam sendo aplicáveis.
A palavra "algébrico" está sendo usada aqui entre aspas porque eu posso estar me referindo a expressões envolvendo senos e cosenos que não são algébricas mas que aparecem envolvidas numa expressão algébrica. Uma forma melhor de dizer talvez fosse "formais" que é, entretanto, uma palavra demasiado "formal".... prefiro seguir, com o erro de usar indevidamente o adjetivo "algébrica" depois de feita esta ressalva.
A notação (P(x,y), Q(x,y)) é uma tradição para campos vetoriais de dimensão dois. Quando precisamos nos referir a campos vetoriais de dimensão 3 é costume usar (P(x,y), Q(x,y), R(x,y)) ou (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) se o domínio também for de dimensão 3.

A segunda questão

Na segunda questão estamos interpretando e verificando quando um campo vetorial é derivada de um campo escalar. Aqui temos uma das grandes difererenças no salto de dimensão 1 para dimensões maiores que 1.
Com um pequeno erro que em algum momento vou corrigir, mas se você souber qual é a correção pode ganhar um ponto nesta lista, posso dizer que "todas as funções de uma variável" são derivadas de alguma função também univariada. Se aumentarmos o número de variáveis já não mais poderemos dizer isto e é relativamente fácil de caracterizar o que ocorre.
É o objetivo da segunda questão.
Um dos resultados que precisamos nesta questão é o Teorema de Schwartz-Clairaut que estabelece que as derivadas mistas de uma função de variáveis cujas derivadas sejam contínuas, são iguais:

z = F(x,y);
F_xy = F_yx ;

e que portanto a ordem como as derivadas forem calculadas é irrelevante. Se a ordem importar, se as derivadas mistas forem diferentes, isto é um indicativo de discontinuidade da função e portanto de inexistência da derivada.
A segunda questão deve dar-lhe alguma compreensão do significado do teorema de Schwartz-Clairaut.
Vamos aplicar o teorema de Schwartz-Clairaut em alguns casos simples, na questão 03.

A terceira questão

Não se intimide com a notação. O objetivo aqui é manipular a expressão
P(x,y) dx + Q(x,y) dy
no integrando para testar a integral usando o teorema de Schwartz-Clairaut.
Faça as contas que você "mata" as questões.
Você tem adquirir o simples hábito de fazer as contas, sem receios.
Obviamente que fazer contas representa um trabalho, mas sem fazê-las você nunca irá a lugar nenhum. Então faça as contas indicadas e responda qual (ou quais) as alternativa(s) correta(s).
O teorema de Schwartz-Clairaut garante que em alguns casos a integral é zero.

Integral independente do caminho

Aqui vamos ver outro resultado que somente tem sentido quando as funções estão definidas em domínio de dimensão maior do que 1. De uma certa forma o que vou ver aqui está ligado com o assunto das questões anteriores e vou mostrá-lo no momento certo.
No Cálculo univariado todas as funções "razoáveis" tem integral, é uma afirmação vaga, mas podemos aceitá-la, e num certo momento vou torná-la mais precisa. Meu objetivo aqui é comparar com as funções multivariadas. Se z = F(x,y) for uma função "razoável" nem sempre ela terá integral...
Lembre como definimos a primitiva de uma função no Cálculo I, definimos a integral desde uma condição inicial até um limite variável.

Mas se o domínio tiver dimensão maior do que 1 há várias possibilidades de caminho entre a condição inicial é e um ponto variável. Este gráfico mostra o problema. Já discutimos isto na lista 03.
Então estamos diante de duas classes de funções:

aquelas cujas integrais de linha dependem do caminho entre dois pontos dados;
aquelas cujas integrais de linha sejam independentes do caminho entre dois pontos dados;

Observe que, quem torna a integral dependente ou independente do caminho é o integrando z = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Escrevi o integrando num formato que aparece nas questões da lista 05.
Há várias "integrais de linha" e os diversos formatos de tais integrais dependem da operação que estivermos fazendo com as expressões. Na expressão acima você deve observar que se trata de "produto escalar".
Um gráfico pode nos ajudar a compreender onde desejo chegar.
Neste gráfico podemos ver duas alternativas de caminho para sair do ponto Q e chegar ao ponto P.
Se uma integral for independente do caminho sobre a região D então

em que estou me referindo à situação geométrica descrita no gráfico .
Observando que as duas curvas que aparecem na integral representam uma curva fechada, posso dizer:
Se uma integral for independente de caminhos então a integral é zero sobre qualquer caminho fechado.
A

figura não representa um caminho fechado devido à orientação das curvas que a compõem. Mas se trocarmos a orientação de uma delas, por exemplo, em vez de "gama" considerarmos "- gama" então teremos uma curva fechada.
Reciprocamente: se uma curva for fechada ela representa para qualquer dois pontos escolhidos sobre ela, dois caminhos e se a integral se anular sobre esta curva, a sua integral tera o mesmo valor, entre os dois pontos percorridos pelos caminhos definidos sobre a curva.
Mas o que estou dizendo é outra coisa:

Se uma integral for independente de caminhos, ela é zero sobre qualquer curva fechada, porque sobre qualquer curva fechada passando por dois pontos dados, podemos definir os dois caminhos (com uma orientação adequada das curvas) o valor da integral será o mesmo sobre os dois caminhos;
Reciprocamente, se uma integral for zero sobre qualquer curva fechada, então ela será independente do caminho que se escolha entre dois pontos dados.

É muito dificil demonstrar diretamente quando uma integral é independente de caminhos: teriamos que testar todos os possíveis caminhos. Temos que encontrar uma alternativa para isto, mas já temos a pista na questão 03, pelo menos de uma parte da afirmação: quando
P(x,y) = F_x e Q(x,y) = F_y.
Volto para terminar!