Palavras chave: dependência de caminhos, independência de caminhos, primitiva, Teorema de Green - primeira versão

eu mesmo

O objetivo

Descrever uma primeira versão do Teorema de Green e preparar a metodologia para demonstrar o teorema e fazer algumas aplicações do mesmo.

Alterei o texto publicado anteriormente acrescentando exemplos tirados da lista 03. As alterações se encontram na parte final deste texto.

Este teorema é um dos resultados mais importantes do Cálculo multivariado junto com outros teoremas que podem ser considerados extensões ou complementações dele.

O Teorema de Green tem um caso trivial que é fácil de apresentar e provar e, no processo de construir esta versão trivial, eu vou criar um caminho pedagógico para demonstrar a versão geral do teorema.

Há diferenças fundamentais entre o que ocorre em espaços de dimensão 1, a geometria dos domínios das funçoes de uma variável, e o que ocorre quando os domínios das funções é de dimensão maior do que 1, o caso das funções bivariadas que são os objetos do Cálculo II. Uma dessas diferenças fundamentais é muito curiosa e ainda um relativo "mistério" para nós matemáticos: a diferença entre os domínios de dimensão par e os domínios de dimensão impar.
Sabemos de alguns teoremas que valem para dimensão par e não valem (ou tem formulação diferente) para dimensão impar e reciprocamente.

Entretanto, já existe uma diferença fundamental entre sair da dimensão 1 para domínios bidimensionais onde estão definidas as funções bivariadas e o Cálculo II vai explorar estas diferenças.
Eu posso rapidamente mostrar, com a figura seguinte, um problema que vamos encontrar com funçoes bivariadas. Ela mostra um domínio não convexo no plano.
Para começar, um conceito inexistente no Cálculo I - a convexidade.
Antes de prosseguir, vou responder a uma pergunta que você me deveria fazer (até para estimulá-l@ a me fazer perguntas):
E para que precisariamos de figuras deste tipo ?
Primeiro uma crítica à pergunta, "precisariamos" é uma forma utilitarista, extremamente perigosa, de ver o desenvolvimento porque ameaça cortar o desenvolvimento em duas partes: a útil e a inútil. É o infeliz papel dos CNPq's da vida que se dedicam a cortar o desenvolvimento daquilo que, na curta mentalidade dos burocratas que gerenciam a ciência, for inútil.
Eu, por princípio sempre faço esta crítica antes de responder a perguntas deste tipo, mas, ao mesmo tempo, declaro-as bem vindas do ponto de vista de motivação. Infelizmente temos uma necessidade "utilitarista" a nos mover.
Uma resposta bem simples: você já deve ter visto estes veículos incríveis em que circulam os distribuidores de gás engarrafado. Os motoristas que "pilotam" estes veículos e distribuem o produto, sofrem, no trânsito, para levá-los a quem precisa. A figura poderia ser vista como uma visão artística deste tipo de veículos.
O problema com estes veículos: eles são corpos não convexos e para fazer a sua tração de forma agradável e segura, para os motoristas e também para o resto da população que estiver no trânsito, seria necessário calcular-lhes o centro de massa, que no caso de corpos não convexos, pode ficar fora do mesmo, para colocar a tração no centro de massa que é o local adequado.

Em Cálculo II você vai aprender a calcular centro de massa.

Mostrei-lhe que precisamos de certos conhecimentos, que serão o objetivo desta disciplina, para "disciplinar" a vida comum criando condições adequadas de vida para todos nós - um objetivo político do ensino, ou talvez, simplesmente, ético.

Deixe-me apresentar-lhe rapidamente o plano do trabalho com que vou atingir o objetivo imediato, o Teorema de Green.

Espero que você tenha curiosidade de fazer uma busca na Internet com o nome do teorema para ter uma visão de onde vamos chegar. Você vai ver uma expressão complicada que eu tive alguma dificuldade de entender quando aluno de graduação e eu quero assegurá-l@ de que ela vai lhe ficar inteiramente clara, logo na versão trivial. Deixe-me lhe mostrar qual é plano para as duas próximas aulas:

A versão trivial é quando o teorema se aplica a um tipo particular de funções que anulam os dois lados da integral, ou seja, vou ter zero = zero! Sei que parece demasiado trivial...
Não é tão trivial porque vou construir um tipo particular de função que vai servir para simplificar o teorema, e mesmo neste caso simples o teorema tem uma utilidade.... quando lidarmos com potênciais (energéticos) quando não há perda de energia, os chamados "campos conservativos", verdade, uma situação teórica ideal, mas a ciência é toda montada em situação teóricas ideais e tudo funciona, com pequenos erros.
Para chegar às funções que me interessam, os campos conservativos, (quando o teorema é trivial) vou precisar de definir as primitivas de funções multivariadas, vou começar com o caso bivariado. Aqui tem uma surpresa relativamente às funções definidas em domínios de dimensão 1. Em dimensão 1 todas as funções tem primitivas. Não é bem verdade, o "todas" é uma brutal força de expressão e estou me referindo a uma classe muito grande de funções com que lidamos, que inclue as funções contínuas, mas não somente estas. Então "todas as funções contínuas" tem primitivas no caso de dimensão 1. Em dimensão 2, com as funções bivariadas a situação é outra e o Teorema de Green - caso trivial, vai separar as que têm primitivas das que não tem. Uma primeira utilidade para o Teorema de Green...
Como fazer? como definir primitivas?
O método é o mesmo que no caso univariado: temos que calcular uma integral entre uma condição inicial e um ponto variável X. É uma integral de linha quer dizer, uma integral em cima de um caminho ligando os dois pontos.
Mas surge uma complicação... bem vindas as complicações! elas nos levam para um ponto mais alto na compreensão do Universo e da ciência.
A figura ilustra um problema que temos que resolver: entre dois pontos (em dimensão maior do que 1) há vários caminhos para ir de um ponto a outro e você pode ver isto na figura .
Sei que isto não parece representar um problema, mas vou agora mostrar-lhe que sim: para definir uma primitiva, preciso calcular uma integral desde uma condição inicial, P (indicada na figura) até um ponto genérico X = (x,y) (indicado na figura). Mas se o resultado de seguir por um dos caminhos for diferente do obtido ao seguir por outro caminho temos uma incompatibilidade!
Este problema não existe com funções de uma variável! É uma novidade para o caso de funções definidas em domínios de dimensão maior do que 1.
Como resolver o problema? da incompatibilidade caminhos?
Na verdade, não é o problema da incompatibilidade caminhos que vou resolver e sim selecionar funções que não ofereçam esta incompatibilidade.
Finalmente! o Teorema de Green vai dividir as funções integraveis em duas classes:
1. A classe das funções que dependem do caminho a integral troca de valor se trocarmos o caminho. Esta funções (dizemos estas integrais) dependem do caminho.
2. A classe das funções que não dependem do caminho, a integral não troca de valor se trocarmos o caminho, dizemos que estas integrais não dependem do caminho.

E este o projeto para as duas próxima listas! Até o final delas você estará entendendo tudo o que foi dito neste projeto!

Integral de linha

A integral é uma transformação linear. No Cálculo I você estudou um caso particular que nos interpretamos, corretamente, mas incompletamente, como área. É preciso, agora, expandir esta visão.

O gráfico mostra-lhe a imagem de um círculo sobre uma superfície. Se z = F(x,y) for a equação desta superfície e se S¹ for o símbolo que representa um círculo de raio 1 contido no domínio de F então F(S¹) pode ser a imagem que você está vendo.

Há alguns cálculos que podemos fazer com este objeto, por exemplo calcular o perímetro de F(S¹). Como se trata de uma curva costumamos chamar este cálculo de comprimento de arco. A questão 5 da lista constroi a fórmula para fazer este cálculo, e as questões anteriores @ preparam para chegar lá. As etapas deste processo são:

Equações parâmetricas de uma curva. Já apresentei as equações paramêtricos de uma reta, agora estou apresentando-lhe as equações parâmetricas de uma curva qualquer;
Retas, são curvas, variedades de dimensão 1, e uma forma de entender a dimensão consiste em contar as variáveis, e tem duas regras práticas para fazer esta contagem:
Se a equação da variedade for dada por uma expressão em não haja variáveis explicitadas, como

x² + y² + r² = 0

então contamos as variéveis, duas, e subtraimos uma unidade: a dimensão é 1 e esta equação é a equação de um círculo.
Mas a equação (cos(t) sin(t)) quando t varia de 0 até 2pi também representa um círculo, neste caso a círculo de raio 1 com centro na origem. Esta é uma equação parâmetrica deste círculo e nela vemos uma única variável caracterizando que se trata de uma variedade de dimensão 1. A quantidade de "parâmetros" numa equação paramétrica diz qual é a dimensão da variedade;
Considere uma equação como:

(x₁(s,t), x₂(s,t), x₃(s,t))

ela representa um objeto que está num espaço 3D - porque tem três coordenadas, mas é um sistema de equações parâmetricas que dependem de dois parâmetros. Temos aqui uma variedade de dimenão dois imersa no espaço de dimensão 3. Uma superfície é o nome geométrico que temos para esta variedade.
Agora

(x₁(s,t), x₂(s,t), x₃(s,t) x₄(s,t) )

ela representa um objeto que está num espaço 4D - porque tem quatro coordenadas, mas é um sistema de equações parâmetricas que dependem de dois parâmetros. Temos aqui uma variedade de dimenão dois imersa no espaço de dimensão 4. Uma superfície é o nome geométrico que temos para esta variedade.
Neste caso

(x₁(t), x₂(t), x₃(t) x₄(t) )

ela representa um objeto que está num espaço 4D - porque tem quatro coordenadas, mas é um sistema de equações parâmetricas que dependem de um único parâmetro. Temos aqui uma variedade de dimensão um imersa no espaço de dimensão 4. Uma curva é o nome geométrico que temos para esta variedade.
gnuplot é capaz de fazer gráficos com equações parâmetricas de dois tipos, e a lista 03 @ conduz treinar o uso dos dois métodos que ele oferece:
- um dos métodos se chama parametric e você deve ligar o modo paramétrico com
  
  set parametric;
  
  para que gnuplot passe a interpretar as equações como tal.
- e o outro se chama polar que é um caso particular de equações paramétricas muito útil quando temos uma relação clara entre a distância da origem do ponto (raio) e o ângulo que o vetor determinado por este ponto faz com o eixo OX. Por exemplo 1 é um círculo para gnuplot em coordenadas polares, porque o ângulo é qualquer mas a distância do ponto-posição, o raio, é constante 1, mas é preciso ligar o módulo polar no gnuplot para que ele passe a entender assim o que é feito com o comando:
  
  set polar;

Leia o help do gnuplot para entender melhor como funcionam estes dois modos, o help traz exemplos que você pode executar para adquirir mais experiência:

help parametric;
help polar;

Vou ficar nesta lista com as variedades de dimensão 1 imersas nos espaços 2D ou 3D com o objetivo ver-lhes os gráficos ou cálcular o comprimento do arco.

Comprimento de arco

curva orientada e um intervalo de parametrização

elementos que vou precisar para calcular comprimento de arco são:

Uma curva, é um ente geométrico, uma variedade mas ela pode ser descrita por um sistema de equações paramétrica;
o intervalo de parametrização pode ser visto como uma curva que foi transformada em outra curva (que está sendo parametrizada por este intervalo);
As curvas podem ser diferenciáveis, em Cálculo II todas serão. Quando calculamos derivadas vamos obter a direção de uma reta tangente em algum ponto, mas a derivada nos fornece apenas um vetor paralelo à reta tangente. Discuti esta questão quando eu apresentei a equação da reta no espaço 3D . As curvas e seus vetores tangentes vão voltar a nos ocupar da relação entre a derivada e o vetor tangente geométrico a uma curva.
As integrais são transformações orientadas, lembre-se de uma propriedades da integral, estudada em Cálculo I, quando trocamos os limites de integração, o sinal da integral muda. As curvas também são orientadas e é preciso discutir a orientação da curva quando formos calcular integrais.

Para calcular o comprimento de arco, uma medida, vamos refazer o cálculo aproximado de integrais.

A figura mostra uma poligonal obtida sobre a curva quando considerarmos uma partição sobre o intervalo de parametrização. O cálculo do comprimento desta poligonal vai nos dar uma aproximação para o comprimento do arco da curva.

Aqui estou mostrando o caso de uma curva fechada e consequentemente a poligonal é um polígono inscrito na curva. Os cálculos servem também quando a curva não for fechada.

O método consiste em transformar a soma dos comprimentos dos lados da poligonal numa expressão que possamos identificar como soma de Riemann para então considerar o limite, quando o número n, quantidade lados, cresce indefinidamente e de maneira uniforme ao longo da curva.

A questão 5 mostra estas contas quando a parametrização da curva é do tipo (t, F(t)) e o gráfico o de uma função do Cálculo I. )

Os cálculos:

Mostram a adaptação das contas que se encontram na questão 5 da lista 03 para obter uma soma de Riemann que representa uma aproximação do comprimento de arco da curva. A divisão e multiplicação por

t_k - t_k-1 faz aparecer a multiplicação pela "delta t" fora da raíz e um quociente que representa a aproximação da derivada de cada uma das coordenadas na equação paramétrica da curva.

As somas de Riemann quando a densidade dos nós no intervalo de parametrização cresce (quando a quantidade de nós cresce de maneira uniforme ao longo do intervalo de parametrização) tem como limite, se a curva for retíficável (integrável) o valor

Se observarmos que na integral se encontra o módulo de um vetor, a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas, podemos escrever esta integral de forma mais simples:

Você deve lembrar-se um comentário que fiz acima, as integrais são transformações, neste caso, a derivada de gama é o coeficiente de deformação que foi aplicado ao intervalo [a,b]. Uma curva nada mais é do que uma deformação de um segmento de reta, e o módulo da derivada de suas equações paramétricas o coeficiente de deformação. Esta idéia vai surgir mais adiante quando estudarmos superfícies que serão deformações se regiões planas com o módulo da derivada de suas equações paramétricas servindo de coeficiente de deformação.

Leia este texto do semestre passado, também.

Comentários e exemplos sobre a lista 03

Questão 01

O programa exer03_01.gnuplot foi usado para obter os resultados aqui mencionados. Obtive a seguinte tabela de dados que permite a construção manual da curva de que é objeto a questão 01.

t x(t) y(t) dx(t) dy(t)
-5 14 44 -7 -13
-3 4 22 -3 -9
-2 2 14 -1 -7
-1.5 1.75 10.75 0.0 -6.0
-1 2 8 1 -5
0 4 4 3 -3
1 8 2 5 -1
1.5 10.75 1.75 6.0 0.0
2 14 2 7 1
3 22 4 9 3
5 44 14 13 7

E obtive o gráfico da curva e dos vetores tangente em alguns pontos das curvas (indicados na tabela acima) com o script to gnuplot mencionado acima (se encontra no link programas).

Se você observar que a primeira coordenada da derivada é negativa quando
t < -1.5
e a partir deste valor do "tempo" ela é positiva (esta é a primeira coordenada do vetor derivada) então até este "momento" tem uma componente horizontal negativa da derivada e depois a componente é sempre positiva.

Quando
t = -1.5
o vetor tangente tem componente horizontal zero e componente vertical negativa portanto é paralelo ao eixo OY mas na direção negativa deste eixo.

Quando
t = 1.5
sobre a componente vertical da derivada posso dizer que ela é negativa até t = 1 a partir de "quando" ela será sempre positiva.
Quanto t = 1.5 é a componente vertical do vetor tangente que se anula mas a componente horizontal é positiva.
Estes dois pontos do tempo são críticos (quando uma das componentes da derivada se anula), neste caso elas vão determinar dois eixos que limitam a região onde plano onde o gráfico se encontra. Primeiro limpei a memória de "arrow" do gnuplot e depois tracei duas retas passando por estes pontos onde uma das derivadas se anula:

Observe uma diferença importante no estudo das equações paramétricas e no traçado de curvas definidas parametricamente, passamos a analisar separadamente as derivadas de cada componente. Aqui observamos quando cada uma destas componentes é negativa, zero ou positiva. Neste caso foi possível descobrir uma região do plano em que a curva fica toda localizada.

Questão 02

As equações paramétricas, na questão 02, são uma deformação das equações paramétricas do círculo, agora aparecem duas constante positivas multiplicando cada uma das equações. Se fosse a mesma constante, ela poderia ser colocada em evidência e representaria o raio de um círculo. Não sendo assim elas são coeficientes de distorções que transformam um círculo numa elipse. Eis o gráfico:

Questão 03

A base do modo polar no gnuplot não mudou, e nem poderia, mas a sintaxe mudou um pouco e me surpreendou na quinta-feira, em aula, me pegou de surpresa.
Coordenadas polares são (e sempre foram) as equações de Euler:
r (cos(t), sen(t)) = P(r,t) = exp(log(r))exp(it) = exp(log(r) + it)
mas basta que você entenda a o primeiro membro nas equações acima.
Elas se ligam às coordenadas cartesianas pelas equações

x = r cos(t);
y = r sen(t);

num sentido e

r = sqrt(x**2 + y**2);
t = atan(y/x);

no outro sentido.
Quer dizer, se conhecermos um ponto P(x,y) com coordenadas cartesianas, podemos escrevê-lo em coordenadas polares calculando r,t a partir do sistema de equações acima. Então t = artan(x/y); r = sqrt(x**2 + y**2) Apenas gnuplot condensa muito a informação. Quando executo
set polar;
gnuplot passa a entender t como um angulo, e quando executo
plot 1
gnuplot entende 1(cos(t), sin(t)) - o círculo trigonométrico.
plot t;
gnuplot entende t(cos(t), sin(t)) que produz uma espiral cujo ponto incial é (0,0) quando t = 0, ou seja, no domínio [0,10] para a variável t. Eu fiz este gráfico na aula de quinta-feira:

definindo uma função f
plot f(t)
produz f(t)*(cos(t), sin(t))
Com isto os itens da questão 03 podem ser entendidos.