Lista 01 - Revisão de Cálculo I

Este é um texto que complementa a lista de exercicios 01. Comece a resolução da lista 01 e leia este texto na medida em que sentir necessidade de completar as informações.
Além disto não deixe de entrar em contacto por e-mail quando as idéias não estiverem claras.
A lista 01 trata de três funções,
  1. A função f(x) = 1/x , cujo gráfico é uma hipérbole;
  2. logaritmo (natural) e
  3. exponencial, a inversa da função logaritmo natural.
Há uma infinidade de exponenciais, como também há uma infinidade de funções logarítmicas. Elas se encontram aos pares, para cada função logarítimica há uma função exponencial que lhe é inversa. Mas há um costume de chamar de "exponencial" a função inversa do logaritmo natural.
Como vou tratar aqui apenas do logarítmo natural, vou evitar o adjetivo "natural" para simplificar a linguagem.

A função f(x) = 1/x

A primeira questão se dedica ao estudo desta função.
O domínio de f(x) = 1/x é a reta R- {0}. Fora da origem esta função está definida e é contínua.
Portanto, se a,b forem dois números com mesmo sinal, a função f(x) = 1/x é contínua no intervalo [a,b], é integrável neste intervalo.
Claro, a continuidade não é condição necessária para integrabilidade, é condição suficiente:
f contínua ==> f é integrável
mas, se f não for contínua, ainda assim pode ser integrável.
A derivada da função f(x) = 1/x é f'(x) = -1/(x2), a derivada é sempre negativa, logo f é uma função decrescente.
Ela decresce para menos infinito, no eixo negativo atingindo arbitrariamente grandes valores (negativos) nas próximidades de zero. Depois salta para grandes valores positivos quando x se tornar positivo, perto de zero.
Se |x| > 1 ===> |f(x)| < 1, seja x positivo ou negativo. Então o gráfico da função f(x) = 1/x fica confinado na faixa de módulo 1 em torno do zero (na parte superior desta faixa, quando x > 1, e na parte inferior desta faixa, quando x < -1.
Perto do zero o gráfico fica confinado na faixa     [-1,1] x R
O gráfico transformou em "linguagem gráfica" estas afirmações, tendo você mesmo reproduzí-lo à mão, para entender bem o gráfico que se encontra na página dois da lista. Depois tente conseguir este gráfico usando gnuplot, os comando do gnuplot devem ser estes que deixo que você procure entender (ou me faça perguntas a respeito).
Fora da origem esta função está definida e é contínua.
A primeira questão conduziu ao gráfico desta função.
A segunda questão se dedica à integral desta função que pode ser feita em qualquer intervalo que não contenha o zero, onde a função é contínua.
Terminamos a aula com esta propriedade fundamental (e especial) desta função que nos permite calcular a integral em qualquer intervalo [a,b] transformando-a numa integral relativamente ao intervalo [1, b/a]. Podemos dizer que "dividimos o intervalo por a", ou cancelamos "a" dos limites de integração.
Isto nos permitiu mostrar esta outra propriedade da integral da função f(x)=1/x
Esta é a única função que tem esta propriedade. Errado! Qualquer múltiplo dela também esta propriedade.

Métodos aproximados no cálculo de integrais

Há diversos métodos de aproximação para o cálculo de integrais que vocês irão estudar numa disciplina específica, Cálculo Numérico. O pior deles é o que estou usando aqui, a soma de Riemann.
As somas de Riemann são a forma mais simples de calcularmos aproximadamente integrais, produzem um algoritmo muito lento, mas são, ao mesmo tempo o método teórico mais poderoso para tratar com integrais.
Você viu, na aula, que consegui demonstrar a propriedade usando somas de Riemann.

A função y = ln(x)

As questões 2 e 3 se dedicam à função y = ln(x) . A definição do logaritmo se faz hoje com uma integral. É uma oposição à definição que herdamos há quatro séculos e que pode ser vista neste meu texto sobre logaritmos.
O domínio da função logaritmo é a reta positiva, R++. Obsrve que "logaritmo" é um nome para uma integral que não tem relação com nenhuma das funções algébricas que nós conhecemos. Não sabemos calcular esta integral exatamente. Sabemos apenas calculá-la aproximadamente, damos o nome de ln(x) a integral
Logaritmo é o nome desta integral que não sabemos calcular exatamente, repetindo, é o nome que damos a esta integral que sabemos calcular apenas aproximadamente.

As propriedades do logaritmo

Este é o assunto do exercício 3.

Um texto elementar sobre logaritmo

Você pode encontrar aqui um texto elementar sobre logaritmos, mais ou menos do ponto de vista como eles foram construidos no século 16.
Você pode estar se perguntando se temos o direito de chamar de logaritmo a função que contém os valores da integral da função f(x) = 1/x.
É uma dúvida justa! Neste texto eu respondo a esta pergunta quando digo que qualquer função que tenha as propriedades:
  1. L(1) = 0
  2. L(ab) = L(a) + L(b)
pode ser chamada de logaritmo porque os seus valores vão produzir uma tabela que fará o efeito das tabelas de logaritmo usadas desde o século 16 até a metade do século 20 pára fazer contas - quando os logaritmos foram destronados pelas máquinas elétricas e depois pelas eletrônicas (que afinal trazem os logaritmos gravados internamente...) mas não usam mais logaritmos para fazer as contas.
Então a função definida na questão 3, como a integral da função f(x) = 1/x pode ser chamada de logaritmo. Ela é chamada de logaritmo natural em oposição ao logaritmo decimal. A base dos logaritmos naturais é o número e que é calculado na questão 6 da lista.
Você pode encontrar todo o material associado a esta lista em qualquer livro de Cálculo, em particular no meu livro, no capítulo 5, pagina 186 em diante. Chamo sua atenção que este livro ainda está muito mal escrito. Se você encontrar dificuldades, culpe o autor, mas seja amável e me envie suas críticas que elas serão bem recebidas.

A função exponencial y = ex

y = ln(x) sendo uma função crescente, tem inversa.
A questão 04 vai construir a função inversa de y = ln(x).
O resto da lista 01 vai desenvolver as propriedades da inversa do logaritmo, a exponencial. Aqui temos a oportunidade de relembrar a fórmula de Taylor e obter um valor aproximado para o número e que é outro dos poucos números irracionais para os quais temos nome.