Curvas de nível, extremos e pontos de sela de funções bivariadas.
Palavras chave:
curva de nível, derivação, gradiente, normal, extrema,
integração, mapa gravitacional,
mudança de variável, passo da montanha, pontos de sela.
As curvas de nível são obtidas por equações do tipo z = F(x,y) = K
em que K é uma constante.
Ao considerar esta equação estamos "cortando" o gráfico da superfície
z = F(x,y) com o plano z = K.
Quer dizer que estamos resolvendo um sistema de equações o que tecnicamente elimina
a variável z e nos conduz à busca dos pares (x,y) que resolvem esta equação.
O resultado deste sistema de equações é uma curva de nível, a curva de nível K
{ (x,y) ; F(x,y) = K}
é uma curva traçada no domínio de F.
As curvas de nível são um instrumento importante em Engenharia, Geologia, Meteorologia, e o meu objetivo aqui
é o de mostrar que elas nos permitem iniciar a procura de um extremo do gráfico de uma
função de duas variáveis (ou de n variáveis).
O gráfico sugere um método, ao mesmo tempo ele mostra as dificuldades do método e
portanto que o algoritmo precisa ser monitorado durante sua execução para evitar
"laços infinitos".
Você pode pensar, incialmente no ocorre com uma montanha, embora não nos interesse
em buscar máximos com algoritmos quando pudermos visualisar o máximo. Estou
usando este exemplo apenas como motivação, os algoritmos existem para serem aplicados
em situações em que estamos trabalhando ás cegas!
E devem funcionar!
Na construção dos algoritmos usamos situações bem conhecidas em que eles seriam
de certa forma inúteis. São situações de teste, quando podemos ver o resultado e portanto
verificar que estamos no caminho certo de construção do algoritmo.
O gráfico ao lado lhe mostra como o método se pode aplicar em termos práticos, mas
não vou entrar nesta questão mais a fundo porque ela compete a outra disciplina, Cálculo
Numérico. O meu objetivo aqui é apenas o de motivar o seu estudo do gradiente no
sentido de que ele fornece a melhor direção na busca de um extremo.
Este último gráfico mostra como um levantamento adequado de dados pode fornecer
aproximações para as curvas de nível e assim sugerir o ponto provável de máximo (ou
de mínimo) se houver.
No gráfico ao lado as curvas de nível sugerem que
pode haver dois extremos separados por um
passo de montanha.
Da mesma forma como no gráfico anterior,
a malha colocada na região permite a
produção de curvas de nível
aproximadas que nos conduzem a uma
visão da existência de
extremos ou de passos de montanha.
Os passos de montanha são o fenômeno
que corresponde aos pontos de inflexão
do cálculo univariado.
Outro objetivo que tenho com os gráficos aqui expostos é o de lhe mostrar que há uma
nova complicação no estudo de extremos de funções multivariadas.
Como era de esperar!
As funções multivariadas nos oferecem novos desafios que tornam muito interessante
o seu estudo. Você está vendo o caso bivariado, e em essência traz todas as dificuldades
que vamos encontrar nos casos multivariados. O grande salto se encontra na passagem
de univariado para multivariado.
Em algum momento você vai descobrir uma nova situação: os problemas variam se a
dimensão for par ou impar!
Num livreco de 64 páginas, Topology from the differentiable view point, publicado
pela Editora universitária da Universidade de Virginia (dificilmente uma editora comercial
publicaria um livro desses...) Milnor, mostra alguns dos problemas que podemos encontrar
na procura dos pontos críticos de funções quando mergulhamos em dimensões maiores. É
um estudo excitante que as figuras que estou mostrando aqui sugerem como esta
figura
que copiei manualmente (logo é uma arte minha e pode ser livremente copiada) que lembra
a principal figura do livro de Milnor acima mencionado, a figura da capa.
Podemos ler este último gráfico como sendo os fluxos de energia que se distribuem em
um determinado ambiente, por exemplo as correntes de ar na atmosfera que são induzidas
por vários fatores embora todos oriundos da mesma fonte, o Sol, entretanto modificados
por condições locais como as massas de nuvem ou os gazes que refletem calor (os gases
do efeito estufa) criando distintas "origens" para emanação de calor e assim produzindo
fluxos que podem produzir perturbações aparentemente inexperadas.
Vou parando por aqui na esperança de lhe ter podido sugerir que existem alguns problemas
interessantes para estudarmos associados a máximos, mínimos ou pontos de sela das
funções multivariada.
A lista 13 pretende pelo menos excitar sua curiosidade a este respeito.