Teorema de Geeen

Vamos começar na lista 10 a estudar alguns dos teoremas mais bonitos do Cálculo, Teorema de Green, Teorema de Gauss, Teorema de Stokes. Aguns teoremas tem os nomes destes matemáticos representando todos eles variações do Teorema de Stokes que finalmente é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo.

Palavras chave: Teorema de Green, campos conservativos, teorema fundamental do Cálculo, integral independente do caminho,

Esta relação entre um domínio e sua fronteira aparece de forma muito tenue no Teorema Fundamental do Cálculo (o caso univariado) até porque não costumamos chamar de fronteira aos dois pontos que marcam o começo e o fim de um intervalo... este vazio linguístico tem o que ver com algum receio que temos de falar de conceitos considerados avançados nos primeiros momentos.

Estou lhe sugerindo uma página na Internet onde você pode encontrar um texto relativamente simples e bem escrito sobre o Teorema de Stokes, mas ao mesmo tempo sugiro que você faça uma busca com o navegador usando a plavra chave "teorema de Stokes" e selecione você mesmo qual o texto que lhe parecer mais interessante para ler. Você irá encontrar vários, sobretudo se omitir a palavra teorema porque irá lhe abrir a possibilidade de encontrar textos em outras linguas.

Como disse no começo, vou começar mostrando uma forma trivial do Teorema de Green, precisamente quando eu colocar em relação uma função e sua primitiva. Em linguagem técnica quando eu usar um potêncial - um potencial é uma função que tem uma primitiva. Neste momento vou poder mostrar que, saindo da dimensão 1, caimos numa classificação de funções: as que tem primitivas e as que não tem! Os físicos chamam os potenciais de campos conservativos, com esta linguagem a classificação fica campos conservativos (os que tem primitiva) e campos não conservativos.

Isto dá ao Cálculo Multivariado um novo horizonte desconhecido no Cálculo Univariado onde todas as funções tem primitivas mesmo que em na grande maioria dos casos nós não saibamos encontrá-las ...

Ter ou não primitiva produz uma bela relação entre as chamadas integrais de linha das funções. Há funções cujas integrais (de linha) são independentes do caminho e uma simples consequência disto, que vamos ver na formulação trivial do Teorema de Green, é que a integral destas funções sobre caminhos fechados (curvas fechadas) é zero.

Um resultado simples, o último teorema de Fermat

``Simples'' não é sinônimo de fácil, mas em geral significa que podemos expressar o fato com uma linguagem ingênua... e ingênuo não significa estúpido! Há diversos teoremas que podem ser expressos numa linguagem ingênua mas cuja demonstração representou anos de trabalho duro. Há alguns exemplos muito conhecidos como o último teorema de Fermat, demonstrado (com erros) em 1995 por Wile (e quase dez anos depois demonstrado corretamente também por Wile) diz simplesmente que

é uma relação impossível para inteiros positivos, x,y,z, e n maior do que dois. E se diz que Fermat, em 1637, haveria dito que tinha uma demonstração para este teorema mas ela não cabia na margem do livro que ele estaria lendo (naquele tempo papel era dificil e as margens dos livros eram locais acessíveis).

Se acredita que Fermat não conhecia uma demonstração geral para o teorema, na forma como ele mesmo expressou este resultado. O livro que em Wile demonstrou o último teorema de Ferma tem algumas centenas de páginas e depende do trabalho desenvolvido por quase todos os algebristas do século 20, isto dificilmente caberia nas margens de todas as folhas do livro que Fermat estava lendo.

O teorema de Pitágoras fornece exemplos de relação verdadeira, com n=2 para o último teorema de Fermat e portanto o teorema de Pitágoras é um caso particular do último teorema de Fermat.

A formulação trivial do Teorema de Green, embora não seja tão simples quanto o último teorema de Fermat, você logo irá se convencer que é um resultado simples que vai servir de ponte para o resultado completo. Eu não poderia deixar de insistir em que você faça uma busca na Internet com estas palavras-chave, teorema de Green e teorema de Stokes para que você veja a importância destes teoremas pelas suas aplicações e que não teria sentido em repetir aqui. Também é preciso compreender duas idéias aparentemente opostas ou contraditórias:

1. Foram as aplicações, foram engenheiros, químicos, físicos que primeiro observaram a importância de uma relação envolvendo integrais que depois veio a se configurar no teorema de Green. Aqui vemos as aplicações impulsionando o conhecimento teórico;
2. O teorema de Stokes é bem menos intuitivo que o teorema de Green e poderia ter sido deixado de lado porque suas "aplicações" ficam invisíveis numa primeira aproximação, isto, certamente, teria feito com que os burocratas que gerenciam os CNPQs dos governos dos países onde trabalharam estes cientístas lhes negassem apoio para desenvolverem os trabalhos porque estes cientistas não saberiam responder a um quesito muito importante dos formulários destas agências: qual é a aplicação ou o impacto destes resultados.... é que os burocratas não podem entender que, quando ainda estamos no trabalho investigatório, não sabemos exatamente aonde vamos chegar, porque é pesquisa mesmo!

Vou passar agora ao teorema que anunciado, mas vou precisar de desenvolver alguma linguagem técnica que torne possível a sua redação.

O Teorema de Green - a versão trivial

O teorema de Green opera sobre campos escalares (ou vetoriais).

Este nome vem da Física e neste caso os físicos complicaram um pouco de forma desnecessária a linguagem mas vamos respeitar o desenvolvimento histórico que é o que se encontra nos livros. Com algum cuidado é possível passar pelas pedras que foram colocadas no caminho (poderiam ser minas, mas não existe nenhuma guerra declarada entre físicos e matemáticos, apenas uma profunda desconfiança... ou dúvida. Quem sabe mais Matemática, são os físicos ou os matemáticos? ainda não chegamos a um consenso até porque muita Matemática foi feita por causa das pesquisas dos físicos...e eles sempre acham que fazemos Matemática da maneira errada! E nós pensamos mais ou menos o mesmo deles. Enfim, uma profunda desconfiança).

1. Campos são as funções multivariadas.
2. Campos escalares são as funções multivariadas que produzem um número real - um escalar.
3. Campos vetoriais são as funções multivariadas que produzem um vetor.
4. Quando derivarmos um campo escalar o resultado é um campo vetorial.

Tentei desde o princípio deste texto programá-l@ mentalmente para o Teorema Fundamental do Cálculo onde aprendemos que podemos passar de f´ para f (derivada e primitiva). Agora vem a pergunta fundamental deste texto que se refere ao item (4) da lista de afirmações acima.

Se tivermos um campo vetorial (P,Q) existe um campo escalar de quem (P,Q) seja a derivada?

Aqui se encontra a primeira grande diferença entre Cálculo Univariado e Cálculo Multivariado, a resposta a esta pergunta é não e o meu objetivo aqui é mostrar isto. No Cálculo Univariado todos os campos escalares (somente tem campos escalares) tem primitiva (outra questão é se podemos, sabemos, calcular a primitiva).

Esta afirmação está obviamente errada, mas espero que você entenda o contexto em que ela é verdadeira, há uma quantidade enorme de funções às quais não se aplica o Cálculo Diferencial e Integral!

Estou deixando estas de lado.

Mesmo uma função diferenciável ou integrável o é dentro de um intervalo e se for considerada na reta inteira esta afirmação perde sentido. Uma afirmação mais simples deveria ser: toda função contínua, em um intervalo fechado tem primitiva! Exatamente isto deixa de valer no Cálculo Multivariado!

E é bem simples de mostrar que é assim (que um dado campo vetorial pode não ser derivada de nenhum campo vetorial), basta um exemplo bem contruído.

No próximo exemplo vou me fixar no caso de funções bivariadas para produzir um caso simples.

Considere um campo vetorial (P,Q), quer dizer que tenho duas funções bivariadas, (P(x,y), Q(x,y)).

Observe que desejo construir um campo vetorial (P,Q) e mostrar que não existe nenhum campo vetorial

z = F(x,y)

que seja primitiva de (P(x,y), Q(x,y)). Mas se houver as contas seguintes o indicam:

que lhe mostra como ``inventei'' (P(x,y), Q(x,y)) que dá certo. Agora vou destruir o exemplo construindo um par (P(x,y), Q(x,y)) que não dê certo fazendo uma pequena modificação em Q(x,y).

Tudo que fiz foi alterar a equação de Q(x,y) para que as contas da equação (10) para a equação (11) deixassem de funcionar.

indicando que estou derivando Q relativamente à x (sabendo que Q deve ser a derivada de F relativamente à y pois é a segunda coordenada no par (P,Q). Estou derivando P relativamente à y (sabendo que P deve ser a derivada de F relativamente à x pois é a primeira coordenada no par (P,Q).

Finalmente a versão trivial do Teorema de Green

Construi a linguagem necessária para expressar o Teorema de Green em sua forma trivial.

Antes de prosseguir na discussão e na demonstração do teorema, deixe-me fazer algumas considerações que devem colocarnos (você e eu) em sintonia.

1. A primeira delas diz respeito à linguagem, escolhi propositadamente chamar esta primeira versão do teorema de trivial e isto é chocante porque para você que o está vendo pela primeira vez não deve estar vendo nada de trivial. E o meu objetivo não é choca-l@ nem deixá-l@ inibid@ sugerindo que se você não estiver entendo algo tão trivial então não irá entender mais nada.
2. A segunda integral, na equação (15), uma integral de linha, e há uma notação padrão para esta integral da qual estou fugindo que vou corrigir agora

   

   e aproveitei para colocar um parentesis que deixa a primeira integral mais bem escrita.

3. Como, por hipótese, no Teorema, (P,Q) é a jacobiana de um campo escalar, então as derivadas parciais na integral dupla "somam" zero (é por esta razão que estou chamando esta versão do teorema de trivial) e resta saber se a integral de linha na equação (16) também dá zero.
4. O teorema está formulado para um domínio $D^{}$ qualquer... e vale para conjuntos bastante arbitrários, entretanto esta demonstração não é nada trivial com esta formulação. Aqui posso fazer alguma observações que vão me levar a um contexto em que a demonstração vai ser simples. Vamos repensar o caso da integral dupla, uma aproximação para o valor desta integral pode ser feita (como já fiz em aula várias vezes) considerando uma subpartição do domínio $D^{}$ com retângulos ao considerarmos passos Delta_x, Delta_y e a malha correspondente.

   Se a integral existir, podemos considerar passos iguais relativamente ás duas direções dos eixos (e o programa vai ficar mais fácil). Desta consideração você vê que se demonstrarmos o teorema para cada retângulo o resultado final é a soma dos resultados sobre os retângulos (quadrados se os passos forem iguais). Mas é muito menos trabalhoso fazer um programa para círculos e discos, os círculos são fronteiras de discos. A fronteira de qualquer retângulo exige quatro equações, no caso dos círculos uma única, no máximo duas, resolvem.

5. Vou pensar na equação (16) em $D{}^{}$ sendo um disco, portanto sua fronteira um círculo e o programa para que você teste os resultados já existem, exer10_03b.calc, exer10_03.calc. Estou tomando esta decisão em função de já ter escrito os programas para círculos e eles estarem funcionando e não quero, neste momento, re-escrever estes programas para retângulos. Você logo verá que há razões para que se possa considerar uma curva qualquer em muitas situações. Voltarei a isto quando discutir independência de caminho nas integrais.
6. O programa exer10_03b.calc foi escrito depois, e está otimizado relativamente ao programa exer10_03.calc. Preciso conversar um pouquinho sobre estes programas para que você os entenda. O primeiro que programa que escrevi foi exer10_03.calc que tem duas funções (é o nome que damos aos algoritmos nas linguagens modernas, C, Python, C++ e até mesmo em Java). Estou usando duas funções para calcular as duas integrais do Teorema de Green aproximadamente (não tenha preconceitos...):
   1. riemann_fronteira();
   2. riemann_disco();

   No primeiro arquivo deixei a função que ainda não estava funcionando, para que você visse o processo de evolução do programa uma função errada

   riemann_paralela() - função errada em exer10_03.calc

   Quando consegui corrigí-la produzi o segundo programa exer10_03b.calc. O que torna os programas diferentes é que tudo é feito nesta função, riemann_paralela(), que chamei de paralela provocativamente. Este programa é típico para processamento paralelo, se eu tiver n processadores, envio o loop interno para cada um deles e coleto no final o resultado. Mas aqui estou aproveitando um dos loops da função riemann_paralela() para nele calcular uma integral simples dentro de uma integral dupla. Ignore esta peculiaridade ou procure entender como funciona. O que interessa é que você aprenda a rodar o programa e então escolha exer10_03b.calc que roda mais rápido.

7. A saída de dados do programa vai lhe dizer o valor da integral sobre um disco ou sobre sua fronteira. Se o campo vetorial não for exato (não sendo uma jacobiana) algumas vezes a integral sobre a fronteira não dará zero ( mas algumas vezes pode dar zero, e isto acontece no exemplo do programa se você escolher um círculo de centro na origem) mas o resultado, da integral sobre o círculo será sempre igual ao da integral dupla sobre o disco, é o conteúdo do Teorema de Green.
8. O programa trabalha com círculos de raio r centrados no ponto (a,b). Ao rodar o programa você pode selecionar r, a,b, N
   1. r é o raio de um círculo de sua escolha
   2. (a,b) o centro deste círculo
   3. N é a quantidade pontos da malha tanto no eixo OX como no eixo OY

   Se você escolher r, N grandes é possível que o programa leve um dia inteiro para rodar! e isto interessará pouco, escolha, portanto, sempre r pequeno (no programa está r = 1) e N não muito maior do que 1000 e isto vai resultar em números bem parecidos.

9. Eis alguns resultados que obtive rodando o programa com
   1. P(x,y) {return x*power(y,2);};
   2. Q(x,y) {return power(x,2)*y/2);};
   3. e então $P_y$ = 2xy;
   4. $Q_x$ = xy; $Q_x$ - $P_y$ = -xy
   5. e possivelmente tem um erro no programa que lhe pode valer um ponto na lista - eu não vou revisar o programa
   6. Os resultados que obtive (que podem estar com um pequeno erro)

   riemann_fronteira(a,b,r,N) defined

   riemann_paralela(a,b,r,N) defined

   main(a,b,r,N) defined

   Na fronteira = ~12.56637061435917295352

   No disco = ~12.57022973248550263541

   ; main(2, 1, 1, 1000)

   Na fronteira = ~6.28318530717958647676

   No disco = ~6.28346173248550263541

   ; main(-2, 1, 1, 1000)

   Na fronteira = ~-6.28318530717958647693

   No disco = ~-6.28346173248550263541

   ; main(2, -1, 1, 1000)

   Na fronteira = ~-6.28318530717957028621

   No disco = ~-6.29007426751449736459

   ; main(-1, -1, 1, 1000)

   Na fronteira = ~3.14159265358978919082

   No disco = ~3.14503713375724868229

   ; main(-1/2, -1/2, 1, 1000)

   Na fronteira = ~0.78539816339744830948

   No disco = ~0.78667256687862434115

   ; main(-2, -1, 2, 5000)

   Na fronteira = ~25.13274122871824546721

   No disco = ~25.14094183204913555130

   Ou seja, sempre (aproximadamente iguais) iguais.

Experimente os programas trocando a função vetorial (P,Q).

Resumindo esta discussão inicial e complementando as diretivas para usar o programa.

1. Selecione primeiro um campo escalar z = F(x,y) e calcule suas derivadas parciais para chamá-las de P,Q e você está no caso trivial do Teorema de Green.
2. Altere P ou Q e você pode cair no caso não trivial do Teorema de Green, para verificar se é o caso, aplique o teste das derivadas parciais P_y e de Q_x.
3. Se forem diferentes você está no caso não trivial do Teorema de Green e poderá encontrar algum círculo sobre o qual a integral de linha seja zero, mas não serão todos. A integral no programa exer10_03b.calc lhe dá um exemplo disto, selecione (a,b) = (0,0) e verá que as duas integrais são zero. Observe que na integral dupla você está integrando a função F(x,y) = xy, que ela é simétrica tanto relativamente a primeira bissetriz dos eixos como relativamente à segunda, é uma sela com ponto de sela no (0,0). O passo da montanha segue ao longo da reta y=-x. Então o volume positivo e negativo estão na mesma proporção (com coeficiente de proporcionalidade 1) dentro de qualquer círculo com centro na origem, logo volume zero. O mesmo se dá com integral de linha sobre círculos com centro na origem. Se o disco não tiver centro na origem a integral vai ser necessáriamente diferente de zero (volume algébrico não nulo). Ainda tem os casos em que o centro esteja sobre os eixos OY, OX, pense neles e verique com o programa.

Vou tratar disto em seguida quando discutir integrais invariantes sobre caminhos.

Logo volto a escrever mais alguma coisa. Aguarde os sensacionais resultados que ainda virão!

Integrais independentes de caminhos.