Observe um pequeno detalhe, não será importante agora, mas posteriormente vou precisar de usá-lo. Enquanto que a partição no intervalo do tempo é uniforme, a partição em cima da curva não é. Um exemplo bem simples mostra como este detalhe é importante, a Terra em sua circonvolução à volta do Sol, para nós, ao longo do tempo gasta 365 dias e um quarto, nós particionamos o tempo, o ano, em partes iguais chamadas "dias" mas os segmentos da "elipse" correspondentes a cada dia, são de tamanhos diferentes, no perigeo a Terra está com velocidade mais alta do que no apogeu porque os segmentos da elipse são maiores naquele ponto (os numeradores da fração no cálculo da velocidade....).
Passando agora ao segundo passo do meu "programa" para obter a fórmula do comprimento de arco, eu vou considerar uma parametrização como faz o gnuplot para uma curva, o caso geral de parametrizações.
e agora você vê, dentro da raiz, uma soma de coordenadas da derivada ao quadrado. Vai parecer brincadeira, mas observe como fica simples o cálculo do comprimento do arco do círculo.
Agora x(t) = cos(t); y(t)=sin(t); e t percorre o intervalo de zero até "2pi" que serão os limites de integração. Dentro da raiz vou ter a função constante 1. Escreva esta integral com seus dedos, e verifique que o resultado é o que se espera (de graça). Depois tente fazer o mesmo cálculo, usando a expressão da equação do círculo em coordenadas cartesianas, como função de x, (use a fórmula anterior) para ver como fica mais complicado. Conclua que ganhamos alguma coisa em simplicidade com esta nova expressão.
Compare com a fórmula anterior onde dentro da raíz estava uma soma de dois termos - a dimensão era dois! Agora a dimensão é m, e tenho uma soma de m termos dentro da raíz. Se você parametrizar um círculo no espaço mD (de dimensão m) dentro da raíz vai estar a função constante 1 e o intervalo de parametrização vai ser de zero a 2pi . Nada extraordinário, é um círculo, uma curva plana, o seu comprimento em qualquer espaço vai ser o mesmo! Mas vou poder agora calcular comprimento de arcos de curvas em cima de superfícies.
Aguarde um pouco que vem o resto!