Comprimento de curvas no espaço

A motivação

Vou mostrar-lhe como podemos calcular o comprimento de um caminho sobre uma superfície. Vou usar como motivação o caminho que a luz segue no Universo, mas o meu objetivo aqui não é fazer Física, apenas usar a Física como pano de fundo para uma construção geométrica, motivação enfim.

Mas sinta-se convidado para aprofundar a discussão sobretudo se isto criar condições para o aprendizado. Não sou um físico, e que vou discutir aqui de Física é aquilo que qualquer cidadão tem que entender desta ciência, como de qualquer outra ciência, como cultura geral. Então aqui sou amador ou autodidata.

A luz, como qualquer outra manifestação de energia, se propaga em todas as direções e desta forma o dectamos como luz é a intensidade numa região esférica, apenas "concentramos esta informação" num ponto representativo da região.

O Cálculo vai nos dar mecanismos para interpretrar melhor esta "concentração de informações" mas neste momento vou assumir um ponto de vista um pouco distorcido com um objetivo imediato, vou interpretar a luz como uma partícula em movimento ao longo de uma curva que fica sobre uma superfície. Então, vou reduzir todo o problema ao estudo de curvas sobre superfícies (se soubermos sobre que superfície trafega a luz, poderemos calcular a distância entre a fonte e o receptor...e isto ninguém sabe, apenas se constroi aproximadamente usando as fontes de energia gravitacional conhecidas como poderia ser esta superfície). Podemos assim calcular a distãncia relativa entre os corpos celestes... a distância que podemos medir é o comprimento da curva que luz percorre no Universo uma vez que é a luz o meio por onde nos chegam as informações sobre os corpos no Universo.

Eu cito, no texto, alguns programas, todos os programas citados se encontram no link "programas" da página da disciplina e podem ser livremente baixados, usados e modificados.

Curvas e superfícies

Uma curva é uma representação de um intervalo no espaço. Lembre-se do que eu fiz nas listas 05, 06 quando defini uma transformação para codificar um disco em cima de retângulo. Retângulos são objetos geométricos mais simples do discos, da mesma forma como intervalos são objetos geométricos mais simples do que curvas.

Em suma você verá que o nosso objetivo é representar uma classe grande de objetos geométricos (codificá-los) usando objetos mais simples: segmentos de reta (intervalos), retângulos, paralelepípedos...

A linguagem técnica que se usa é parametrizar em vez de codificar, e vou passar a usar esta palavra de agora em diante.

Você já encontrou as equações paramétricas de uma reta no espaço, e nas listas 05, 06 você encontrou as equações paramétricas (coordenadas polares) do círculo. As equações paramétricas nos permitem uma grande variedade de "representações" e gnuplot está muito bem equipado para nos forneceer as visualizações das equações paramétricas. É preciso fazê-lo entrar no modo paramétrico com os dois comandos. Mas há dois comandos para fazer gnuplot entrar no modo de equações paramétricas:

1. set polar em em que ele passa a entender que há duas equações ( x(t), y(t)) ,mas que a primeira coordenada representa o raio e a segunda representa o ângulo. Foi este sistema que eu usei nas listas 05,06 e vou usar na terceira questão desta lista.
2. set parametric em que ele passa a entender que há duas equações x(t), y(t) x(t), y(t) dependentes de um parâmetro t;

set parametric ## para entrar no modo paramétrico

set dummy t ## para definir a variável de parametrização como sendo t, desnecessário, é o padrão

Observe que estou usando a sintaxe do gnuplot quando eu escrever comandos, por exemplo acima, estou incluindo comentários, se você raspar e colar no terminal do gnuplot ele irá entender o comando e ignorar o comentário. A partir de agora gnuplot sabe fazer gráficos de curvas ou superfícies usando equações paramétricas. As questões 1 e 2 da lista 07 tem o objetivo de conduzí-lo a fazer gráficos de curvas usando equações paramétricas. Altere as equações dadas para obter outras curvas e assim ganhar mais intuição.

Coordenadas polares

Nas listas 05,06 eu usei equações paramétricas chamadas "coordenadas polares" que funcionam de forma um pouco diferente das equações paramétricas que usadas agora nas questões 1,2 da lista 7. Agora o par de coordenadas representa raio e ângulo, nesta ordem. Muitas vezes estas duas coordenadas são usadas com a letras gregas rho, teta - foi este o uso nas listas 05, 06.

Gnuplot não usa esta denominação. Apenas entra no modo de coordenadas polares quando você utiliza o comando "set polar". A partir deste momento a variável t representa ângulo e qualquer função f(t) representa

r = f(t)

Na questão 03 estou lhe mostrando como usar o método do gnuplot e

1. como usar o método do gnuplot (como é que gnuplot entende o modo "polar" em que r = f(t). Neste caso o comando inicial é set polar;

   Por exemplo

   • set polar
   • plot 1,2,3

   vai fazer o gráfico de três círculos de raios 1,2 e 3.

   • plot t

   vai fazer o gráfico de uma curva em que o módulo (raio) e o ângulo crescem juntos com t o resultado é uma espiral.

2. como usar usar gnuplot fazendo com que ele entenda um par de funções como coordenadas polares como foi usado nas listas 05,06, usando duas variáveis primeiro coordenada significa raio, e a segunda ângulo. Neste caso o comando inicial é set parametric. Vou mostrar-lhe como fica o segundo exemplo acima usando coordenadas polares no modo set parametric.
   • set parametric ## para que gnuplot entre neste modo
   • x(t) = t*cos(t); y(t) = t*sin(t) ## como foi usado na lista 05
   • plot x(t), cos(t);

   o resultado é a mesma espiral que foi obtida no caso anterior.

3. Os dois métodos para obter coordenadas polares não são equivalentes, isto é o que mostra o exercício 3-c) da lista 07. Não é possível obter a primeira bissetriz dos eixos, y = x usando o método set polar, mas é possivel usando coordenadas polares com set parametric.

Observe que são dois métodos diferentes, é preciso não confundí-los. Mas se você os confundir verá gráficos errados então tudo que você deve fazer é corrigir o que estiver fazendo. Sem estresse, você está aprendendo a usar gnuplot!

A questão 03 da lista 07 usa coordenadas polares com estas duas formas e conduz gnuplot a entender os dois métodos. Os dois itens finais desta questão tratam das coordenadas esféricas que um sistema de coordenadas semelhante às coordenadas polares para o espaço 3D.

Na questão 4 - curvas de nível

Vou explorar na questão 4 as curvas de nível. Curvas de nível são curvas desenhadas no domínio de f e não no graf(f). Não ficam na superfície que é o gráfico de f, mas sim no domínio. É isto que as faz úteis para os cartógrafos ou engenheiros civís.

Olhe para uma montanha que tenha uns 500 m de altura sobre o nível do mar, e considere nele o nível 300m, quer dizer, a montanha cortada por um plano de altura 300m. Isto daria uma curva (supondo que a montanha é uma superfície, não um sólido!). A projeção desta curva no solo é a curva de nivel 300m.

Este método é usado pelos cartógrafos ou pelo engenheiros quando desejam representam numa folha os relevos da região á volta, então usam um instrumento, o teodolito, para registrar as mesmas altura - curvas de nível, numa folha de papel. gnuplot é bom para representar as curvas de nível de uma superfície.

Curvas numa superfície

O programa exer07_05_a.calc cria imagens de curvas na superfície graf(F), você tem que fazer alterações no programa para obter a imagem da curva que você desejar.

A figura mostra a imagem de um círculo sobre o gráfico de F(x,y) = x**2 - 3xy + y**2 e no próximo gráfico se encontra a imagem de segmento de parábola.

Porém o que nos interessa é que um avião saia de um ponto escolhido e chegue a outro ponto também escolhido, e este é um problema realmente difícil - selecionar a curva mais curta - estou chegando no assunto prometido, comprimento de curva - ligando dois pontos selecionados. Não sabemos fazer isto exatamente, a única solução é aproximada! Este é um problema de (elementar) de Cálculo Variacional.

Os programas exer07_05_a.calc e exer07_05_c.gnuplot se encontram no link "programas". O script para gnuplot foi gerado pelo programa em calc e depois eu o mofiquei para obter as figuras

No próximo gráfico dei uma rotação para que você possa ver que um dos vetores se encontra no domínio e é paralelo ao vetor tangente ao gráfico da curva que se encontra na imagem de F.

Eu obtive estes dois gráficos modificando o script para gnuplot produzido pelo programa em calc. É mais fácil construir um script "básico" com calc e depois modificá-lo para conseguir os efeitos desejados. Em aula, hoje, eu vou repetir esta construção.

Queria insistir: você não faz o programa se não souber Cálculo! Claro, você também não faz o programa se não souber programar! Porém, saber programar não conduz ao programa, e sabendo Cálculo você pode aprender facilmente a, pelo menos modificar, um programa de forma adequada.

Os itens da questão 5 testam sua compreensão destas transformações. Observe que há algo merece atenção na fórmula da 5-e), claro que F é derivável, por hipótese, mas... seria mesmo assim?

Este é um texto de apoio à lista 07, a lista se encontra no link "exercicios" da página da disciplina.