O cálculo iterado da integral

1. Mostrar como cálculamos, e porque o fazemos assim, o cálculo de uma integral múltipla. Aqui vou me restringir a integrais duplas, porém a metodologia se aplica a qualquer integral múltipla.
2. Vou ilustrar como posso fazer isto com um programa (e porque posso: porque eu sei calcular a integral formalmente... se você não souber calcular a integral - não faz o programa! obviamente também precisa saber programar, e eu sei! e ensino a quem quiser aprender! ).

A integral no exercício 1

É uma integral trabalhosa, como muitas outras que você vai encontrar:

Vou lhe mostrar na próxima figura o domínio de integração. Analise as regras;

1. A ordem como aparecem os diferenciais indica a forma como a integral deve ser iterada: dx dy sifinicando que a integral interna ( com limites escritos usando a variável y ) deve ser integrada relativamente a x. Porque y = g₁(x), g₂(x).
2. No gráfico você pode ver que a região é descrita por duas expressões, na vertical pelo intervalo [-4,4] e na horizontal os limites variam entre as duas retas y = x - 4 e y = x + 10. Mas esta forma de descrever as equações destas retas não nos convém neste momento, porque preciso expressá-las como função de y. Isto quer dizer que x vai variar entre as duas funções mencionadas no item anterior y = g₁(x), g₂(x)
3. Rescrevendo as equações:
     y = x -4 ==> x = g₁(y) = y + 4; y = x + 10 ===> x = g₂(y) = y - 10
   São estes os limites de integração que você vê expressos na integral. Eles correspondem à figura que se encontra abaixo.

Esta figura estava errada! Corrigida!

O cálculo da integral

Fiz as contas e me parece que não há erros, (havia, corrigi). Testei o resultado de duas formas diferentes:

1. usando um programa que calcula integrais duplas (comentado mais abaixo)
2. depois de feitas as contas cheguei a quatro expressões envolvendo integrais univariadas que calculei usando o programa riemann.calc a que faço referência mais abaixo.

Os resultados cairam numa pequena discrepância, na terceira casa depois da vírgula. Mas verifique minhas contas, se houver erros, quem encontrá-los, ganhará um ponto para a nota da lista 06. É uma regra em ciência, não aceite as contas de ninguém, sempre verifique.

Tenho que calcular quatro integrais para terminar o cálculo da integral de I_y.

e multiplicar o resultado pelas constantes indicadas. São integrais em que há que aplicar novamente a regra de integração por partes o que já foi feito na equação (4) aqui acima, e as calculei usando o programa riemannn.calc que se encontra aqui entre os programas de apoio ao Cálculo I.

• Valor da combinação linear dos valores das integrais é
  26.92552513805903840046
  usando o passo 0.000001.

1. real 28m15.118s
2. user 28m15.238s
3. sys 0m0.004s

O programa exer06_01.calc

Este programa já se encontra na página, no link "programas", eu ainda devo alterá-lo, mas ele já está funcionando.

Rodei o programa assim:

tarcisio@cap01:~/multi$ time(calc < exer06_01.calc)

usando um programa que costuma estar instalado nos sistemas unix time() que calcula o tempo de processamento de um programa.

• O valor da integral ~26.89350213714211768821
• • real 0m33.899s
  • user 0m33.878s
  • sys 0m0.008s

Neste caso o programa rodou em 0 minutos, 33.899 segundos, consumindo 0 minutos e 33.878 segundos do meu tempo de processamento no sistema, mas representando apenas 0 minutos, 0.008 segundos de processamento real no sistema.

Voltei a rodar o programa com um passo menor e obtive

• 26.92227088800412485599
• real 65m47.356s
• user 65m47.559s

Com 65 minutos e 48 segundos se processamento obtendo um resultado mais próximo que o obtido acima com os cálculos quase todos feitos à mão...

Isto são detalhes, curiosidades técnicas, para tornar divertida a página! o que nos interessa mesmo é que o programa calculou a integral com razoável aproximação em cerca de meio minuto do meu ponto de vista, eu que estou esperando o resultado.

Gastei cerca de uma hora para "planejar" o cálculo final da integral que vou apresentar em aula junto com @s alun@s para servir de exemplo e também porque quero lhes passar duas idéias importantes:

• processamento paralelo, um exemplo
• trabalho em equipe, que faz parte da idéia de processamento paralelo.

A segunda questão - Gaussiana

Nesta questão estou usando a integral de uma função univariada, a Gaussiana, como motivação. A Gaussiana,

como é chamada a função exp(- x**2) é muito usada em cálculos probabilísticos ligados ás ciências Físico-químico-biológicas. Com muita frequência nas questões ligadas á Biologia, portanto é importante saber que esta integral existe na reta inteira. Simplesmente não sabemos calculá-la formalmente.

Mas podemos provar que a integral existe e consequentemente podemos calculá-la com programas de computador.

É interessante que podemos calcular facilmente a integral dupla e neste caso ela é uma integral com variáveis separáveis: exp(-x**2 - y**2) = exp(-x**2)exp(-y**2) o que dá a expressão do quadrado no item (e) permitindo que finalmente calculemos a integral da Gaussiana na reta inteira.

A Gaussiana é uma motivação para uso do mudança de variáveis que iniciamos na lista 05 - a passagem para coordenadas polares na integral.

Eu vou começar a aula de segunda-feira revendo esta questão das coordenadas polares que ficou mal feita na aula passada, inclusive porque me enrolei nos cálculos no final da aula.

A mudança de coordenadas (chamada de mudança de variável) pode ser apresentada como uma "modulação" ou como uma "troca de código". Dentro do "espirito capitalista" que pervade a ciência, a codificação tem um significado perverso de esconder os dados. Eu não tenho esta preocupação de esconder as informações, o meu objetivo é outro. Ao mudar o código podemos cair num processo mais simples ou simplesmente encontrar condições adequadas para transferir dados (informações). O cálculo da integral da Gaussiana nos mostra um exemplo neste sentido. O objetivo aqui é compreender a "troca de coordenadas" (mudança de variável) onde aparece a regra da cadéia no caso multivariado: é o papel do determinante da jacobiana da transformação T.

A última questão da lista 06

O objetivo na última lista é compreender como calcular integrais quando o domínio tiver uma fronteira curvilínea (uma curva que não é reta - porque uma reta também é uma curva). Este também foi o objetivo da primeira questão, apenas agora estou usando o volume da pirâmide como motivação. Nós sabemos que o volume da pirâmide é (Bh)/3 - um terço do produto da medida da base pela medida da altura. Quem não souber vai ficar sabendo agora.

Como o resultado é este então o resultado final valida os cálculos, eu já fiz isto com o volume da esfera para justificar que o programa que eu apresentei teria sentido.