Palavras chave: integração por partes, média aritmética ponderada, pesos, Polinômio de MacLaurin, teorema do valor médio para derivada.

eu mesmo

Valor médio

O valor médio é um instrumento de grande valor, isto pode ser visto até mesmo no dia a dia: qualquer receita médica leva em conta um quantidade do medicamento que se for tomada pelo paciente vá fazer um efeito se for efetivamente tomada dentro dos cíclos (de hora em hora, ou diariamente). Se a mesma quantidade for tomada de uma única vez pode matar o paciente, mas distribuida "uniformemente" ao longo dos cíclos deve fazer o efeito benéfico esperado. Esta quantidade repetida ao longo dos cíclos é o valor médio. Se o médico entender de valor médio e de bioquímica, o paciente estará a salvo!
Outro exemplo, se você fizer todos os dias uma quantidade específica de exercícios físicos (que lhe seja adequada, o seu valor médio) certamente terá saúde. Se fizer esta mesma quantidade acumulada no fim de semana, numa única "dose", poderá destruir o seu bem estar. É o valor médio, administrado ao longo de ciclos adequados, que é significante.
O valor médio de que estou falando aqui, porção a ser administrada de um remédio, ou quantidade de exercício físico é o valor médio aritmético. Quer dizer que existem vários tipos de valor médio e você já deve ter escutado falar de média aritmética ponderada, ela é usada, por exemplo, para calcular a inflação (média) num certo ciclo da economia (semana, mes, ano).

Média ponderada

Neste caso usamos pesos criando uma média viciada (palavra técnica - nada tem o que ver com a corrupção!). É uma média viciada porque ele é decidida com uma razão política, definida para atender interesses (que podem ser corretos, éticos ou totalmente arbitrários e indecentes.).
Por exemplo, se houver uma catástrofe no tempo, significativa para uma região agrícola muito grande, haverá um efeito "perturbador" sobre o preço de um determinado gênero agrícola, digamos o feijão, e não teria sentido usar este preço no cálculo da inflação entrando em pé de igualdade com os demais preços, neste caso é uma atitude política ética decidir por um peso adequado para o preço feijão. Pode ser, zero, que elimina este item do cálculo da inflação média. Com isto se evita que o valor médio da inflação fique distorcido pelo catástrofe climática.
A inflação é o valor médio ponderado dos preços, e os pesos são decididos por uma comissão séria que usa esta decisão no interesse de todos, acredito!
A definição de "peso" é completamente arbitrária (e tem que ser, eles devem ser decididos para atingir um determinado fim). Peso é apenas um número positivo de tal modo que a soma deles (soma dos pesos) seja 1.
A média aritmética é um caso particular de média ponderada, quando os pesos são todos iguais a peso uniforme em que n é a quantidade de amostras que foram tomadas para representar o fenômeno em questão.

A média ponderada de dois números (ou mais números) é apenas um valor fica entre eles.
Há um erro comum em entender que a média é o valor que "fica no meio". A média é maior (ou igual ) aos elementos do conjunto. Ou também, a média é menor (ou igual) aos elementos do conjunto.
Quer dizer que o menor valor é uma média aritmética ponderada.
Também o maior valor é uma média aritmética ponderada.
Observe que usei o artigo indefinido!
Quem pode definir o valor médio e o cíclo é um profissional entendido (de valores médios) e da energia específica de cada caso, bioquímica, quantidade de calor, ... impacto econômico ou político.
Eu entendo de valor médio e é disto que vou falar aqui!
É este o assunto principal da lista nº 12, também vai tratar de um método de integração chamado "integração por partes".

A integral e o valor médio

Para calcular aproximadamente uma integral eu posso usar somas de Riemann que produzem sucessões que convergem para um limite que é a integral.
Você vai ver, em Cálculo Numérico, que as somas de Riemann não são o método mais efetivo para o cálculo aproximado de integrais, mas são o método mais efetivo para construir a teoria.
Como uma soma de Riemann é uma soma, podemos rapidamente aplicar-lhe algumas regras da aritmética e com algum cuidado deduzir limites adequados ao próposito que tivermos.
média ponderada e soma de Riemann Observe que se eu dividir uma soma de Riemann pela medida do intervalo a soma dos "passos" se transforma numa soma de pesos. Quando defini (acima, no parte introdutória do texto) média ponderada eu me referi a uma amostragem do fenômeno em questão.
Quando eu calculo aproximadamente uma integral, usando somas de Riemann, eu faço uma amostragem dos valores de f no intervalo [a,b], o domínio de integração.
Se a função for integrável, é possível obter o resultado exato (usando limite) a partir de somas de Riemann uniformes, quando o intervalo [a,b] for dividido em subintervalos todos com mesma medida o deltax, caso uniforme Porque a medida do intervalo é b-a e considerei n subintervalos portanto cada um dos subintervalos tem a mesma medida.

Centro de massa

Nágela, na aula de hoje lembrou um exemplo importante de valor médio, o centro de massa. Eu não pensava incluir este exemplo.

Um exemplo interessante

Na lista 12 você é conduzido ao cálculo da integral de sen2(x) o seno quadrado Considerações geométricas tornam o cálculo desta integral trivial: integral do seno ou do coseno quadrado Esta equações se deduzem do fato de que seno e coseno são translações uma da outra de meio pi.
Então o cálculo da integral do quadrado do seno ou coseno, em certos intervalos (os múltiplos e alguns submúltiplos de pi se deduzem destes cálculos.
Quer dizer que sabemos o valor exato de algumas destas integrais.
Vou usar isto para dar aplicação da fórmula de Taylor (aqui neste caso também chamada de MacLaurin - quando o desenvolvimento de Taylor é feito na origem).
Primeiro na expressão das derivadas de f(x) = sin2(x) se obtém uma fórmula interessante que se encotra expressa na questão 5 da lista 12.
Usando calc, uma linguagem de programação que tem sintaxe semelhantes a da linguagem C, mas é interpretada e de precisão infinita (quer dizer, trabalha com números inteiros de tamanho qualquer) posso escrever a fórmula de Taylor de qualquer grau para esta função (em parte devido à expressão simples que as derivadas assumem, e depois porque não tenho limite para o cálculo do fatorial com calc).
Isto nos permite calcular a integral do polinômio de Taylor de f de grau bastante elevado (na versão do programa exer12_05.calc use um polinõmio de grau 100) posso avaliar a precisão dos resultados porque sei o valor exato da integral.
Isto não é diretamente feito na referida questão 5, fica implícito para o leitor interessado, é possível! A questão se refere ao valor médio de sen2(x).
O que tem de "interessante" neste exemplo é que posso calcular exatamente a integral e desta forma tenho um meio de comparar o valor exata com o valor aproximado obtido com a integral do polinômio de Taylor. Eu fiz uma alteração no programa incluindo a primitiva do polinômio de Taylor. O programa agora oferece os resultados: Considerando o 4*atan(1) em calc como o valor mais preciso para pi eu comparei em negrito os resultados do Teorema Fundamental do Cálculo aplicado à primitiva do polinômio de Taylor. No programa usei n = 200 na primitiva do polinômio de Taylor e na soma de Riemann usei n = 100.
A soma de Rieman executa cerca de 30 mil somas enquanto que a primitiva do polinômio de Taylor calcula apenas 200 somas.
O programa se encontra na página, no link "programas". A fórmula de Taylor, quando calculada na origem, é chamada de fórmula de MacLaurin.

A integração por partes

Este método de integração é consequência da regra do produto de derivadas:
(uv)´ = u´v + uv´
u´v = (uv)´ - uv´
uv´ = (uv)´ - u´v
Se calculada a primitiva de qualquer uma das duas última equações se observa que é possível encontrar a integral de uma função se conseguirmos escrevê-la como um produto do tipo u´v ou uv´.
Os métodos de integração têm um valor relativamente limitado, nem sempre é possível encontrar a primitiva usando estes métodos, na verdade eles têm valor intrínsico, servem para desenvolver a capacidade de cálculo, por um lado, e por outro lado estão inseridos em outras formas de cálculo que surgirão depois em Matemática mais avançada.
A integração por partes é um desses casos, e é poristo que é importante praticar e aprender a usar bem a integração por partes, ela será muito útil posteriormente e num momento em que nenhuma integração numérica será importante...
Esta afirmação vale para praticamente todos os métodos de integração de forma que é bom dominá-los para ter uma prática para outros cálculos bem mais complicados em que eles entram como uma peça de apoio.
As contas são: por partes, integração Nos defrontamos com a possibilidade saber calcular uma das integrais das que se encontram no segundo membro.
Um caso muito comum é aquele em que se supõem que a derivada seja 1 e desta forma quando se escreve a primitiva que aparece no segundo membro se vai ter x u(x) - e ajuda quando u´(x) que vai aparecer na última integral é uma função composta cuja derivada seja um múltiplo de x.
Melhor que do que muita conversa valem os exemplos que você vai encontrar em grande quantidade nos livros na seção sobre "integração por partes". Depois que você resolver algumas dezenas ficará um expert no assunto.
Comece com os casos simples que lista 12 lhe apresenta na questão 06.